20. 月も地球に落ちてくる－－－万有引力
[授業のねらい]
地球上の物体はみんな落ちてきます。太郎も，花子も，石も，リンゴも，紙も，羽毛も，放射能の塵も，時には飛行機も。月も例外ではありません。月も地球に引かれて落ちてきます。石も月もみんな地球に引かれているからです。そうだとすれば，太陽だって地球に落ちているに違いありません。
[授業の展開]
≪問１≫
ここに１枚の写真があります。これを見て感想をいいなさい。
秋です。葉を落とし，実をたくさんつけた柿の木が写っています。幹は黒々としていますが，柿の実は，その半面が夕日に照らされて光っています。よく見ると，それらはみんな三日月形に光っています。そして，さらによく見ると，本物の三日月（２５～２７日月？）が，柿の木のバックの空に，小さく写っているではありませんか。
（図p94）
ニュートンのリンゴの逸話をご存知でしょう。リンゴの落ちるのを見て，万有引力の法則を発見したという話です。
しかし，“リンゴが落ちてくるのに，月が落ちてこないのはどうしてだろう”という思考に到達するのには，一つの前提があったはずです。それは，地上のものも，天上のものも同じ＜もの＞であって，同じ法則に支配されているという認識てす。このころは，まだ天の運行は神の支配する世界とされていたのです。
1666年の秋です。リンカンシャーのニュートンの家の庭のリンゴの木は，リンゴの実をたわわにつけていました。終日の思索の頭をやすめるために庭にでてきたニュートンは，夕日に照らされて三日月形に輝くリンゴを見ました。
そしてその先に，本物の「三日月」を見たのです！ 木の下には，いくつものリンコが落ちていました。 こんなお話はいかがでしょうか。
≪問２≫ 月が地球に落ちているといっても，地球に接近してこないのはどういうことでしょうか。
問題の一つは，落ちるとはなにかということです。広辞苑で＜落ちる＞を引いてみると “ ●受けとめるものもなく，ものが加速度的に下に移動する意。①上から下へ急に位置が変わる。（②以下略）”となっています。
とすると，つぎには，＜上・下＞とはなにかということになります。
≪問３≫ 小学校の生徒が描いた絵があります。リンゴの実（柿かもしれません）が木から落ちる絵です。この絵についての感想をいいなさい。(図p95)
≪問４≫ “夜中には逆立ちするな。地球から落ちゃうから” “夜中に逆立ちして，僕は地球をもちあげた” この＜笑い話＞のどこがおかしいのでしょう。
真上に投げ上げた物体は，初めは上がっていきますが，やがて一瞬止まってから落ちてきます。でも，考えようによっては，いつも下へ落ちつづけているので，このような運動をするともいえます。初めにもらった上向きの速さが，「邪魔して」落ちているのが見えにくくなっています。これもシャーロックホームズの眼（§15）です。
一定の速さで上昇中の気球から，物体を放してみましょう。気球に乗っている人は，諸速度０で自由落下する物体を見るでしょう。気球の高さのビルの窓から見た人は，気球の速度で真上に投げられた物体の運動を見るでしょう。
（§14≪問９≫）
人工衛星は月と同じように地球に引かれて落ちています。人工衛星は地球に落ちてこなければ，直線的に飛んでいって地球から離れていってしまいます。適当に落ちているので，離れていかないのてす。近づかないというのは落ちているということです。そこて，重力や慣性力による運動を「落ちる」と定義してみたらとうでしょう。
ドーナツ形の宇宙ステーションは回転していて，円柱の側面に外向きの慣性力がはたらいているので，みんなそちらへ落ちていきます。もちろん，床
が受け止めてくれるので，その方向と向きを「下」とする生活ができるのです。
（§18 ≪問６≫ ≪問７≫）
始めと終わりがつながった長いジェットコースターが，連続してループを回転している状態は，宇宙ステーションの状態のモデルになります。地球に対して逆さまになっている人も，自分の足のほうが「下」なのてす。
さて，ここで月の落下について計算してみましょう。月も止まっていれば，地球へ向かって落ちながら接近してきます。しかし，横向きに速度をもっているので，地球に落ちてくる分だけ離れているので，接近しません。これをつぎのように計算させます。短い時間ｔで考えます。 （図p96） 月の接線速度をvとして，その方向にvtだけ移動する間に，地球に1/2
at∧2 だけ落ちてきます。aはその位置での重力加速度です。
月と地球の距離をRとしてピタゴラスの定理て R∧2＋（vt)∧2＝(R＋1/2at∧2)∧2 v∧2ｔ∧2=aRt∧2 （最後の項1/4・a∧2t∧4は捨てる）
a＝v∧2/R＝(2πR/T)∧2÷R＝4π∧2R/T∧2 R＝380000(km)
T＝27
3（日）（恒星日） ∴ a＝0.0027（m/s２）
地球上の重力加速度gと比べると g/a＝9.8/0.0027≒3600
地球の半径と月までの距離を比べると R/r＝380000/6400≒60
重力加速度は距離の2乗に反比例することが見えます。
a ∝1/r∧2 f ∝m/r∧2 重ね合わせの原理で f ∝mM/r∧2 f＝GmM/r∧2（Gは比例定数） これが万有引力の法則てす。
Gの値はのちにキヤベンディッシュが測定し，G＝6
67×10∧（－11）(Nm∧2/kg∧2)
これは地球と月の間の力についての計算てすが，この力は質量同士の力の及ぼし合いなので，どういう物体のあいたでも成立します。だから，万有引力なのです。M×mという式で，力が相互作用であることがわかります。
≪問５≫
この結果について感想をいいなさい。
P 月が地球に落ちる距離は１秒間に 1/2at∧2＝1/2×0.0027×1＝1.4（mm）
P 地球も太陽に落ちているのかな。
P ちょうどいい具合に回っているもんだな，近つかないように。
P 地球の重力はすごく遠い所にまで達しているんだ。
P 僕が地球に加える加速度は Gm/r∧2＝？ すごく小さくなりそう。
≪問６≫
太陽が地球の位置につくる重力加速度はいくらですか。たたし，
太陽の質量は 2.0×10∧30kg，地球までの距離は 500光秒＝500×3×10∧8m
a＝GM/r∧2＝6.7×10∧（－11）×2.0×10∧30/（500×3×10∧8)∧2＝0.006（m/s∧2）
地球が月につくるのと同じ程度です。つまり，「月並み」です。 60kgの人の太陽重量は 60×0.006＝0.36（N）です。もっとも，地球および地球上の物体は太陽に落ちつつあるので，太陽に対しては「無重力」ですが。
≪問７≫
地球すれすれに飛ぶ人工衛星の周期を求めなさい。
人工衛星の向心力が重力でまかなわれているので mR（2π/T）∧2＝GMm/R∧2＝gm
T＝2π√R/g＝2π√（6400000/10）＝2π×800＝5024(s)＝84(min)
このような人工衛星の周期は約1.5時間で，質量に関係ありません。この人工衛星の高さは200～300kmなので，地球の半径6400 km に比べて省略して考えました。宵の空をじっと眺めていると，人工衛星がみつかります。
『理科年表』には人工天体の表があって，周期が90min前後のものが多いことがわかります。
T＝2π√R/g
は，ひもの長さl（エル）の単振子と同じです。§22を参照しましょう。
T2∧＝4π∧2R/g g＝GM/R∧2 T∧2＝（4π∧2/GM )R∧3 とするとケプラーの第三法則（公転周期の２乗と,太陽からの平均距離の３乗との比は，すべての惑星について一定である）になります。
［まとめ］
1 すべての物体が，相互に引き合っています。その大きさは質量の積に比 例し，距離の２乗に反比例します。
2 月は地球に落ちています。地球は太陽に落ちています。落ちているので遠ざかりません。
3 地球上のすべてのものは地球に引かれて落ちます。
4
重力と慣性力の合力の方向・向きが「下」です。
5 落ち続けているものは「無重力状態」です。回り続けているというのは，落ち続けている特殊な場合です。
