14. 重力を薄めるには－－－自由落下
［授業のねらい］
物体の落下運動をグラフや数式で表現し，等加速度運動の基本的な理解を会得させます。
［授業の展開］
≪問１≫ 力学台車（以後，台車と呼びます）を静かに落して，台車の運動を記録タイマーて調べました。台車はどのような運動をしたかを表現してみましょう。
P 台車の速度はだんだん速くなった。
P 台車は等加速度運動をした。
P それは台車に一定の力がはたらいていたから。
P 台車にはたらく力をｆ, 台車の質量をm，落下運動の加速度をαとすると ｆ=mα
P 重力加速度の大きさは9.8m/s2 (s2はsの2乗、以下同様)てす。
T 普通の計算ではgは10m/s2で十分だよ。
≪実験１≫
＜速球王＞を使ってgの測定をしなさい。
１ｍの木の物差しを鉛直に立てて，速球王を落としてみました。球を手で握っていて放すと，どうしても球に初速度を与えてしまうようなので，物差しに押しつけておいてから放す方法をとりました。あるクラスのデータを＜授業ノート＞から転載しておきます。 （図p68）
つぎに，そのような場合，物体の移動距離はどのようにしたらわかるか考えてみましょう。
等速度運動の v-t グラフは長方形になり，物体の移動距離sは s＝vt となります。
等加速度運動の v-t グラフは三角形になり，物体の移動距離sは s＝1/2vtとなります。
複雑な運動の場合には，物体の移動距離 ｓ は vt
グラフの面積を計算して求めます。
式がわかっているときには，定積分で計算します。
自由落下運動の公式をつぎのようにまとめます。
v＝gt
① ただし，g＝9.8 m/s2
s＝1/2vt＝1/2gt2 ②
この式の 1/2v
はそのあいたにおける物体の＜平均の速さ＞になります。
このような意味の 1/2 は今後，何度も出てきます。“あのときの 1/2”と思いだせるようにしておきたいものです。
≪実験２≫ 学校の屋上から小石を落して，その時間を測り，校舎の高さを計算しなさい。
注意事項を述べておきます。
時間の測り方がキーポイントになります。
班のデータを平均して落下時間をだします。
階段の高さとその段数から，あらかじめ校舎の高さを計算しておきます。
ｇの値は 10m/s2
で十分です。
“ア・イ・ウ・エ・オ”を１秒で言えるように練習して，時間を測ります。
むかし，山岳部の顧問をしていたことがあります。ある年の夏山合宿で，南アルプスを縦走した最終日に，光岳から寸又峡まで，丸一日のアルバイトを強いられたことがあります。森林鉄道の軌道に沿って深い谷を渡っているとき“谷の深さを測ってみましょう”と部長がいいました。彼は線路に落ちていたナットを拾いあげると，静かに落とし“ア・イ・ウ・エ・オ・ア・イ・ウ・エ オ・ア・イ・ウ・エ・オ・ア，約3sで45mです”
≪問２≫ ガリレイはピサの斜塔から物体を落として，物体の運動を調べたといわれますが，どんな困難があったと思いますか。また，それをどのように解決したと思いますか。
斜塔の高さは 56m で，上下の水平のずれは 5m てす。 45m の高さから落としたとすると落下時間は 約3s です。時計はどうしたのでしょうか。空気抵抗を考慮すると，なにを落とすのがよかったのでしょうか。
そして結局は，斜面を使うようになったのでしょう。
≪実験３≫ 学校の屋上から＜速球王＞を落してみました。高さは 11.6mで，落下の時間は 1.55s でした。速球王の質量は 142g です。感想をいいなさい。
計算によれは ｔ＝√2gh＝1.54
空気抵抗がどのくらいきくのかと思って，高層マンションに住んている生徒（女子）に実験してもらいました。表はその報告です。
（図p70）
“表に書いたもののほかに４回失敗しました。流れて建物にあたったり，違う階に入ってしまったり，大通まではねていったり，なかなか真っすぐに
は落ちませんでした。上り下りも大変だし，ボールを探すのに草やくもの巣とも格闘しました。
はじめ友達とやっていて大変だったので，友達の弟に助っ人に来てもらいました。お陰て大助りでしたが（中略）とにかく涙なしては語れません！
きっと，むかしの物理学者はもっと苦労したのでしょう。（後略）”
高さ 40m 程度て落下時間に 8％ 程度の遅れがみえます。プロ野球のボールの滞空時間では，もっと大きい違いがでるのてしょう。
≪実験４≫
ゆっくりした加速度運動をつくるにはどうしたらよいですか。
（1）斜面を使うと，斜面に沿った重力加達度の成分は ｇ・sinθ（θは斜面の傾斜角）になるので，運動はゆっくりになって時間の測定が楽になります。メトロノームを併用すれば
s が ｔ2 に比例することの検定も容易です。
ｓ＝1/2ｇsinθ・ｔ2 加速度は α＝ｇ
sinθ
（2）単振子も斜面の一種てす。 T＝2π√l/g （lはエル）（2）’
たとえは，最大ふれ角を 30°(＝π/6） それに対する弧の長さを ｓ とすると ｓ＝1・（π/6） その間の時間は ｔ＝T/4
l＝s・6/π
4t=2π√[ｓ・（6/π）/g ] (4t/2
π)２=ｓ・(6/π)/ｇ
s＝4/6π・ｇｔ２=(1/2)(4/3π)ｇｔ2 4/3π＝0.42
ｇの値は 42％ に減少していることがわかります。単振り子の周期はその振幅に無関係なので，振幅を斜面とみなすと，斜面が長いほど平均の加速度は大きくなります。
（3）アトウッドの器械を考えてみましょう。摩擦のない滑車に，質量がそ
れぞれ m,m’（m＞m’）の二つのおもりを糸でつないでつるします。糸
の張力をf,
系の加速度をαとすると，
mg－f = mα f－m’ｇ＝m’α
α＝（m－m/m＋m’）・ｇ
質量を 2：1
にすると，重力加速度は 1/3
に減ることがわかります。
（4）エレベーターの中でも重力加速度を減らすことができます。エレベーターが下に向かって，αの加速度で運動しているときには，エレベーターの
中の「重力加速度a」は ｇ－α になります。 ａ＝g－α
これらはいずれも，重力薄め器ということができます。（1）の場合では，θ＝0°になると加速度が0になります。これは，見方によっては水平方向
には「無重力」ということです。摩擦のない水平面で慣性運動が可能なのはそのせいです。
≪問3≫（2）の
s-ｔ グラフをかいて，時刻 ｔ1
における，この物体の運動の速さがどこに現れているかをいいなさい。
(図p71)
生徒の多くはグラフの始めと終わりを結びます。これが平均の速さだということを確認します。そして，もっと短い時間でも，その間の平均の速さが
だせることを話し合って，それをつきつめていけば，どの瞬間にも速さが確定することをまとめ，それがグラフの各点における接線の傾きになることを確認し
ます。そのようにみると，当然のことながらスタートの時点では物体の速さはゼロてあることもわかります。速さがどんとん増していくのもわかります。
“ｓ-ｔ グラフの接線の傾きは，その時点における物体の速さを表す”とまとめます。
≪問４≫ 物体を真上に向かって投げ上げました。この物体の v-t グラフを書きなさい。ただし，時間は，物体が手を離れた時点から測ります。
生徒が書いたグラフは図のようなものでした。
（図p72）
このように運動が一次元のときには，物体の距離のsを，走行距離ではなくて変位を表すことにすれば，グラフは一番下のものがよいことになります。こうなると，その向きによって速さには、±の符号がつきます。変位も同じく±の符号がつきます。そして，今後，地上を基準にして，上向きをプラス，下向きをマイナスとすることを約束しておきます。このように約束すると，運動の公式は 下のようになります。
高さ
ｓ0 からの自由落下 ｖ=－ｇｔ ｓ=ｓ0－1/2ｇｔ2
地上から初速度 v0 の投げ上げ ｖ＝ｖ0－ｇｔ ｓ＝v0t－1/2ｇｔ2
高さ
ｓ0 からの初速度 v0 の投げ下げ ｖ＝－ｖ0－ｇｔ ｓ＝ｓ0－v0t－1/2ｇｔ2
統一公式としては ｖ＝ｖ0－ｇｔ ｓ＝ｓ0＋v0t－1/2ｇｔ２
ただし，v, v0 は上向きを＋、下向きを－、 ｓ、 ｓ0は基準面より上を＋、
下を－とします。
≪問５≫ 統一公式で，ｖ0＝0，ｖ0＞0，ｖ0＜0 の場合の ｖ＝ｖ0－ｇｔ
のグラフをかきなさい。
≪問６≫
統一公式で，ｖ0＝0，ｖ0＞0，ｖ0＜0 と ｓ0＝0，ｓ0＞0，ｓ0＜0
を組み合わせて s＝ｓ0＋v0t－1/2ｇｔ２ のグラフを書きなさい。
≪問７≫ 地上から初速度 20m/s で投げ上げた物体について，つぎの値を計算しなさい。（1）最高点に達するまでの時間。（2）最高点から地上に達するまでの時間。（3）滞空時間。（4）最高点の高さ。
≪問８≫ 後楽園球場（Big Egg）の天井の高さは 61.7m です。 ポップフライで初速度は最大どの程度とみたのでしょう。また，その場合の滞空時間はいくらでしょう。
ｔを消去した関係 ｖ2－v02＝－2ｇｓ を導いておけば便利です。
ｖ＝0 v02＝2×9.8×61.7 ｖ0＝35
m/s
滞空時間（負号省略）は，
s＝1/2gt2 t2＝2s/g＝2×61.7÷9.8 ｖ0＝3.5 2ｔ＝7.1s
≪実験２≫のところでみたように，計算値と実測値のあいだには十数％の違いがあるものと思われます。
滞空時間6秒のホームランでは，まだ高さに余裕があるようです。
≪問９≫
上昇中の気球から，静かに落とした物体の運動を考えなさい。
≪問10≫
石を投げ上げて，建物の高さを測ることができますか。
このようにして建物の高さを測るときには，十分に注意してやらせます。
建物の高さにまで石を投げ上げることは，すこし練習すればできるようになります。空気の抵抗がありますが，概算なのであまり気にしません。野球部
の生徒に協力してもらって，校舎の高さを測ってみましょう。
［まとめ］
1 重力場における物体の運動は,
加速度9.8m/s2の等加速度運動です。
2 変位と速さは，向きを決めて，正負の符号を付して表します。
3 ｖ-ｔグラフ，ｓ-ｔグラフを使って運動を解析します。
4 いろいろな＜重力薄め器＞を工夫します。
5 速い運動の場合には空気抵抗も考慮します。
